빛이 다른 매질로 갈 때 : 스넬의 법칙, 프레넬 계수 (Snell's Law, Fresnel Coefficient)

Nori 4번째 Assignment중에 Dielectric을 구현하는 과정이 있다. Dielectric은 말 그대로 전기가 통하지 않는 물질인데, 예를 들면 유리, 기름, 물(순수한), 그리고 공기가 있다(그래픽스의 입장으로 내가 이해한 바로는 투명한 물질을 일컫는 말인데, 확실하지는 않다). 일상 생활에서 쉽게 확인할 수 있듯이, 이런 물질들로 들어오는 빛은 일부는 반사되고, 일부는 물질 안으로 투과된다. 스넬의 법칙과 프레넬 방정식을 이를 분석하는 데에 유용하게 쓸 수 있다.

1. 스넬의 법칙(Snell's Law)

스넬의 법칙은 다음과 같이 정의된다.

i는 입사(incident), t는 투과(trasmitted)의 뜻을 갖는다. η는 index of refraction(굴절률)인데, 이는 빛이 매질 속에서 움직일때 광속이 줄어드는 비율을 나타낸 것이다. 이는 빛의 파장에 따라 달라지므로, 보통 굴절률이라 하면 가시광선 영역에서의 평균을 의미한다. ηi는 노멀 벡터가 향하는 쪽의 매질의 굴절률이고 θi는 빛의 방향과 법선 벡터 사이의 각도, 즉 입사각이다. ηt는 반대쪽 매질의 굴절률, θt는 굴절각이다.

특정 상황에서 빛이 매질을 투과하지 못하는 경우가 있다. 굴절률이 큰 매질에서 작은 매질로 향할 때, θt가 90도가 될 때의 θi를 임계각(critical angle)이라고 한다. θi가 임계각 보다 커지면 빛은 매질을 벗어나지 못하고 전반사를 하게 된다.

몇 가지 Dielectric의 굴절률은 실제 값으로 알려져 있다.

출처 : PBRT

스넬의 법칙을 이용하면, 굴절률로 주어진 두 매질이 있을 때, 빛이 어떤 각도로 굴절이 될 지를 알 수 있다.

하지만 스넬의 법칙으로 굴절하는 빛의 방향만 알 수 있는것은 아니다. 스넬의 법칙과 Radiance의 정의(밝기를 측정하는 방법 참고)를 이용하면, 굴절되는 빛의 Radiance가 어떻게 변화하는지도 알 수 있다. 유도 과정은 생략하고, 결론을 말하자면

위의 식과 같은 관계를 갖는다. Lo은 굴절되는 빛의 Radiance, Li는 입사되는 빛의 Radiance, ηi와 ηo는 각각 입사하는 쪽의 매질과 굴절되는 쪽의 매질이다. τ는 굴절되는 빛의 비율인데, 아래의 Ft와 같다.


2. 프레넬 계수 (Fresnel Coefficient)

하지만 빛이 어떤 매질에서 다른 매질로 향할 때 모두 반사되거나 모두 투영되지 않는다. 전체 빛 중 일부는 반사되고, 일부는 투영된다. 일상 생활에서 물이 들어있는 컵을 볼 때, 컵 속이 보이기도 하지만 내 얼굴이 보이는 것을 쉽게 확인할 수 있다. 프레넬 방정식을 이용해 전체 빛의 양에서 얼마나 많은 양이 반사되고 얼마나 많은 양이 투과되는지 알 수 있다.

굴절률과 입사각이 주어질 때, 프레넬 방정식을 이용하면 입사하는 빛에 대한 반사율을 알려준다. 이 반사율은 그냥 반사율이 아니라 반사된 빛 중 두 방향으로 편광된 것에 대한 반사율인데, 이는 아래의 식으로 나타난다.

r(평행) 은 평행 방향으로 편광된 빛의 반사율이고, r(수직)은 수직 방향으로 편광된 빛의 반사율이다.

하지만 대부분의 환경에서 편광이 눈에 보이는 화상에 끼치는 영향은 미미하다고 한다. 그래서 PBRT나 에서는 빛이 편광되지 않다고 가정한다(사실 햇빛이나 물에서 반사된 빛은 모두 편광되어 있다고 한다). 편광되지 않은 빛에 대한 반사율은

로 구할 수 있다고 한다. 왜 식이 이렇게 나오는지 찾아봤는데, 잘 모르겠다.. (링크)

빛이 반사되는 비율을 구했으니, 빛이 투과되는 비율을 구할 수 있다. 에너지 보존 법칙에 의해 전체 빛의 양은 반사되는 빛의 양과 투과되는 빛의 양의 합이다.